TEOREMA DEL COSENO

TEOREMA DEL COSENO:

Es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

DEMOSTRACIONES:

Por desglose de áreas[editar]

Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.

Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

• a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
• ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).

Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en dos casos.

La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:

• En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
• En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
• En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.

Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que ${\textstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\,\cos \gamma }$, equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.

La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra

• En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha.
• En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
• En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.

Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da ${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}}$, como queríamos demostrar.

Por el teorema de Pitágoras[editar]

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo ${\displaystyle \gamma }$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:

Pero, la longitud h también se calcula así:

Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bu\,}$

Por la definición de coseno, se tiene:

${\displaystyle cos\gamma \,={\frac {b-u}{a}}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle u=b-a\,\cos \gamma \,}$

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c², concluyendo que:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma }$

con lo que concluye la prueba del primer caso.

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente ${\displaystyle c^{2}=h^{2}+u^{2}}$ pero en este caso ${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(b+u)^{2}}$. Combinando ambas ecuaciones obtenemos ${\displaystyle c^{2}=u^{2}+a^{2}-b^{2}-2bu-u^{2}}$ y de este modo:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}-2bu\,}$.

De la definición de coseno, se tiene ${\displaystyle cos\gamma \,={\frac {b+u}{a}}}$ y por tanto:

${\displaystyle u=a\,\cos \gamma -b\,}$.

Sustituimos en la expresión para ${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}-2b(a\cos \gamma \ -b)}$, concluyendo nuevamente

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma \,}$.

Esto concluye la demostración. c² = a² - b² - 2b(a cos(γ) - b) Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno